Математика с нуля
Квадратные корни
У квадратной комнаты площадь 9 квадратных метров. Какой длины каждая стена? Тебе нужно число, которое, умноженное само на себя, даёт 9 — и это число 3. Идти назад от 9 к 3 — это и есть взятие квадратного корня.
После этого урока ты можешь сказать, что такое квадратный корень, увидеть, почему он отменяет возведение в квадрат, найти корень точного квадрата, узнать, какие числа — точные квадраты, и оценить корень числа, которое им не является.
Возведение в квадрат умножает число само на себя. Ты встретил это как показатель
2: 3² — это 3 × 3 = 9, 5² — это 5 × 5 = 25. Возведение в квадрат — вопрос
вперёд: начни с числа, получи результат умножения его само на себя.
Квадратный корень задаёт этот вопрос наоборот. Вместо «что такое 3 в квадрате?»
квадратный корень спрашивает «какое число в квадрате даёт 9?» Ответ — 3. Мы
записываем его знаком корня: √9 = 3, потому что 3² = 9. Квадратный корень отменяет
возведение в квадрат так же, как вычитание отменяет сложение.
Числа с целым корнем называются точными квадратами. Кривая выше рисует каждое
число в квадрате: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36. Эти выходные значения — 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее — это точные квадраты. Их квадратные корни — ровно целые числа:
√16 = 4, √25 = 5. Знание первых нескольких точных квадратов делает их корни
мгновенными.
Большинство чисел — не точные квадраты, их корни попадают между целыми числами.
Возьми √10. Нет целого числа, которое в квадрате даёт 10: 3² = 9 слишком мало,
4² = 16 слишком много. Значит √10 лежит между 3 и 4 — чуть выше 3, ведь 10 чуть
выше 9. Такой корень оценивают, зажимая его между двумя ближайшими точными квадратами.
Найди √49.
Квадратный корень спрашивает: какое число, умноженное само на себя, даёт 49?
Попробуй несколько. 6 × 6 = 36 — слишком мало. 8 × 8 = 64 — слишком много.
7 × 7 = 49 — ровно.
Значит √49 = 7. И 49 — точный квадрат, ведь его корень вышел целым числом. Проверь
возведением в квадрат обратно: 7² = 49. Корень и квадрат — пара в паре, каждый
отменяет другого.
Почему это работает
Почему квадратный корень «отменяет» возведение в квадрат? Потому что это один и тот же
факт, прочитанный в две стороны. 7² = 49 и √49 = 7 описывают одно отношение: 7 и
49 — партнёры, связанные умножением на себя. Возведение в квадрат идёт от стороны к
площади; квадратный корень идёт обратно от площади к стороне. Та же пара,
противоположные стороны.
Частая ошибка
Частая ошибка — думать, что √16 значит 16 ÷ 2 = 8. Это не так. Квадратный корень —
не деление пополам. √16 спрашивает, какое число, умноженное само на себя, даёт 16,
а 4 × 4 = 16, значит √16 = 4. Деление 16 пополам даёт 8, а 8 × 8 = 64, а не 16.
Всегда проверяй корень возведением его в квадрат обратно.
Найди √25. Напиши значение.
Найди √1. Напиши значение.
Найди √100. Напиши значение.
Вычисли 6² (6 в квадрате). Напиши значение.
Найди √81. Напиши значение.
Что просит найти √36?
Возведение в квадрат умножает число само на себя; квадратный корень задаёт этот вопрос наоборот — какое число в квадрате даёт это? — и поэтому отменяет возведение в квадрат. Числа, чей корень — целое число, — это точные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36. Большинство чисел — не точные квадраты, их корни попадают между двумя целыми числами; такой корень оценивают, зажимая его между ближайшими точными квадратами.