Математика с нуля
Степени
Чтобы записать «2, прибавленное к себе», ты пишешь 2 + 2. Чтобы записать «2,
умноженное на себя пять раз», тебе понадобилось бы 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Это длинно. У
математики есть для этого краткая запись — и эта краткая запись называется степенью.
После этого урока ты можешь сказать, что значит степень, назвать её две части, вычислить небольшую степень умножением, объяснить, что делает возведение в степень 1 и 0, и описать, почему степени заставляют числа расти так быстро.
Степень — это повторное умножение, записанное коротко. Как умножение — это
повторное сложение, так возведение в степень — это повторное умножение. Мы
записываем его маленьким приподнятым числом: 2⁵ значит 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Большое
число умножают само на себя, а маленькое считает, сколько раз оно встречается.
Две части — это основание и показатель. В 2⁵ число 2 — это основание
(число, которое умножают), а 5 — показатель (сколько копий основания
перемножают). 2⁵ читается «2 в степени 5». У двух особых степеней есть свои имена:
n² — «n в квадрате», n³ — «n в кубе».
Возведение в степень 1 оставляет число прежним; возведение в степень 0 даёт 1. 7¹
— это просто одна копия 7, значит 7¹ = 7. А 7⁰ = 1 — для любого основания. Смотри
на узор вниз: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Каждый шаг вниз делит на основание. Ещё
шаг вниз: 2⁰ = 2 ÷ 2 = 1. Узор вынуждает это.
Степени заставляют числа расти поразительно быстро. Кривая выше — это 2,
возведённое в каждую степень от 0 до 6. Она едва отрывается, потом взлетает вверх:
2¹⁰ уже 1024. Умножение прибавляет одно и то же на каждом шаге; степень умножает
на основание на каждом шаге, поэтому итог убегает. Этот взрывной рост и делает степени
важными далеко за пределами арифметики.
Вычисли 3⁴.
Основание — 3, показатель — 4, значит перемножь четыре тройки: 3 × 3 × 3 × 3.
Бери по две за раз. 3 × 3 = 9. Потом 9 × 3 = 27. Потом 27 × 3 = 81.
Значит 3⁴ = 81. Заметь, как быстро это росло: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27,
3⁴ = 81 — каждый шаг снова умножал результат на 3.
Почему это работает
Почему любое число в степени 0 равно 1, а не 0? Пройди по лестнице вниз. 2³ = 8,
2² = 4, 2¹ = 2 — каждый шаг вниз делит на 2. Чтобы узор не порвался, следующий шаг
обязан быть 2 ÷ 2 = 1. Определить 2⁰ = 1 — единственный выбор, при котором правило
«шаг вниз — дели на основание» работает до конца.
Частая ошибка
Самая частая ошибка — читать 2³ как 2 × 3 = 6. Показатель — не множитель, это
счётчик множителей. 2³ — это 2 × 2 × 2 = 8. Всегда спрашивай: сколько копий
основания? Потом перемножь столько штук — никогда не умножай основание на показатель.
Вычисли 2³ (это 2 × 2 × 2). Напиши значение.
Вычисли 5² (5 в квадрате). Напиши значение.
Вычисли 7⁰. Напиши значение.
Вычисли 4¹. Напиши значение.
Вычисли 2⁵ (2 × 2 × 2 × 2 × 2). Напиши значение.
Что значит 3²?
Степень — это краткая запись повторного умножения: 2⁵ значит пять двоек, перемноженных
вместе. Основание — число, которое умножают; показатель считает, сколько копий.
Возведение в степень 1 оставляет число прежним; возведение в степень 0 даёт 1, чтобы
узор «шаг вниз» не порвался. Поскольку каждый шаг снова умножает на основание, степени
заставляют числа расти куда быстрее, чем умножение.