Математика с нуля
Степени десяти
Десять, сто, тысяча, миллион. Каждое в десять раз больше прошлого. Это не случайные большие числа — это одно число, 10, возведённое во всё более высокие степени. И этот узор — тихий движок всего, что ты узнал про разряды.
После этого урока ты можешь вычислить любую степень десяти, объяснить, почему её показатель равен числу нулей, связать степени десяти с разрядами и записать большое круглое число как маленькое число, умноженное на степень десяти.
Степень десяти — это 10, умноженное само на себя. 10² — это 10 × 10 = 100.
10³ — это 10 × 10 × 10 = 1000. Основание всегда 10; меняется только показатель. Это
степени десяти, и они — самые правильные числа во всей арифметике.
Показатель — это ровно число нулей. 10² — это 100, два нуля. 10³ — это
1000, три нуля. 10⁶ — это 1000000, шесть нулей. Каждый раз, когда ты поднимаешь
степень на единицу, ты умножаешь на 10, что дописывает ещё один нуль в конец. Значит,
чтобы найти 10ⁿ, напиши 1 и затем n нулей.
Степени десяти — это то, из чего построены разряды. Читая число справа, каждое
место — это степень десяти. Разряд единиц — это 10⁰ = 1, разряд десятков — 10¹ = 10,
разряд сотен — 10² = 100. Правило «каждое место в десять раз больше прошлого», которое
ты узнал про разряды, — это просто степени десяти в ряд.
Большое круглое число можно записать как маленькое число, умноженное на степень
десяти. 3000 — это 3 × 1000, то есть 3 × 10³. 60000 — это 6 × 10⁴. Эта
научная запись — маленькое число, умноженное на степень десяти — держит очень
большие числа короткими и удобными для сравнения: сначала читаешь степень десяти, чтобы
увидеть размер, потом маленькое число для подробности.
Запиши 50000 как маленькое число, умноженное на степень десяти.
Сначала посчитай нули в 50000: их четыре. Значит это число — 5, за которой четыре
нуля.
Четыре нуля значат, что степень десяти — это 10⁴ (то есть 10000).
Значит 50000 = 5 × 10⁴. Проверь: 10⁴ = 10000, и 5 × 10000 = 50000. Маленькое
число 5 несёт ведущую цифру; 10⁴ несёт размер.
Почему это работает
Почему поднятие степени на единицу добавляет ровно один нуль? Потому что поднятие
степени на единицу умножает на 10 ещё раз — а умножение любого целого числа на 10
сдвигает каждую цифру на одно место влево, роняя свежий 0 в разряд единиц.
100 × 10 = 1000. Число нулей растёт нога в ногу с показателем, ведь и то, и другое
считает одно и то же: сколько раз ты умножил на десять.
Частая ошибка
Частая ошибка — думать, что у 10⁴ где-то есть цифра четыре или что оно равно 40.
Это не так: 10⁴ — это 10000. Показатель говорит число нулей, а не цифру в ответе
и не множитель, на который умножают 10. 10⁴ значит четыре десятки, перемноженные
вместе.
Вычисли 10². Напиши значение.
Вычисли 10⁴. Напиши значение.
Сколько нулей у 10⁶? Напиши количество.
Вычисли 10⁰. Напиши значение.
Вычисли 5 × 10². Напиши значение.
Не вычисляя, сколько нулей у 10⁵?
Степень десяти — это 10, умноженное само на себя, а её показатель ровно равен числу
нулей: 10ⁿ — это 1, за которой n нулей. Степени десяти — движок разрядов: каждое
место, считая справа, — следующая степень десяти. А любое большое круглое число можно
компактно записать как маленькое число, умноженное на степень десяти, что держит
большие числа короткими и удобными для оценки размера.