Математика с нуля
Соединение событий
У одного броска монеты ясная вероятность орла: половина. Но подбрось две монеты — какой шанс, что обе лягут орлом? Вероятность каждой ты уже знаешь. Новое умение — соединить их.
После этого урока ты можешь найти вероятность того, что два независимых события произойдут оба, того, что произойдёт любое из двух исключающих событий, и того, что событие не произойдёт.
Два события независимы, когда одно не влияет на другое. Подбросить монету, потом подбросить её снова — первый результат ничего не меняет во втором. Такие события независимы. «И», «или», «не» из раздела о логике возвращаются здесь, теперь применённые к вероятностям, а не к истине и лжи.
Для двух независимых событий, происходящих оба, перемножь их вероятности. Шанс орла
— 1/2. Шанс орла и потом снова орла — 1/2 × 1/2 = 1/4. Умножение разумно: лишь
четверть всех исходов двух бросков — это орёл-орёл, ведь каждый бросок режет
выжившие возможности пополам.
Для двух событий, которые не могут произойти оба, складывай их вероятности для
«любого». Одна кость не может показать и 1, и 2 за один бросок — эти исходы
взаимоисключающие. Шанс выбросить 1 или 2 — это 1/6 + 1/6 = 2/6. Когда события
не могут перекрыться, «или» складывает их отдельные вероятности.
Вероятность того, что событие НЕ произойдёт, — это 1 минус его вероятность. Это
дополнение. Если шанс дождя — 0.3, шанс отсутствия дождя — 1 − 0.3 = 0.7. Так и
должно быть: событие либо происходит, либо нет, значит две вероятности — это вся
уверенность, а уверенность равна 1.
Ты бросаешь честную монету дважды. Какова вероятность получить орла оба раза?
Каждый бросок независим — первый результат не трогает второй. Вероятность орла на одном
броске — 1/2.
Тебе нужен орёл на первом и орёл на втором. Для двух независимых событий, происходящих
оба, перемножь: 1/2 × 1/2.
1/2 × 1/2 = 1/4, что как десятичная — 0.25. Значит шанс двух орлов — один из 4.
Проверь, перечислив четыре равновозможных исхода двух бросков — орёл-орёл, орёл-решка,
решка-орёл, решка-решка — и ровно один из них орёл-орёл.
Почему это работает
Почему «и» умножает, а «или» складывает? Потому что они сужают и расширяют возможности противоположным образом. Требование, чтобы две вещи произошли обе, оставляет только перекрытие — кусок куска, что и даёт умножение. Принятие любой из двух неперекрывающихся вещей собирает оба куска вместе — что даёт сложение. Слова логики И и ИЛИ прямо переходят в вероятность.
Частая ошибка
Частая ошибка — складывать вероятности, когда события должны произойти оба, говоря, что
два орла — это 1/2 + 1/2 = 1. Это значило бы, что два орла наверняка, что явно
неверно. «Оба происходят» умножает; складывает только «любое происходит», для
исключающих событий. Проверь, на какой вопрос ты отвечаешь, прежде чем выбрать действие.
Два броска монеты. Вероятность орла оба раза — это 0.5 × 0.5. Напиши её десятичной.
Брось кость. Вероятность 1 или 2 — это 1/6 + 1/6. Напиши числитель суммы со знаменателем 6.
Шанс орла — 0.5. Каков шанс НЕ орла? Напиши его десятичной.
Две кости. Вероятность, что обе покажут 6, — это 1/6 × 1/6. Напиши знаменатель произведения.
Шанс дождя — 0.3. Каков шанс отсутствия дождя? Напиши его десятичной.
У двух независимых событий вероятность каждого 1/2. Какова вероятность, что произойдут оба?
Вероятности соединяются тремя ходами. Для двух независимых событий, происходящих оба, перемножь их вероятности. Для двух взаимоисключающих событий, где происходит любое, сложи их вероятности. Для вероятности того, что событие не произойдёт — его дополнения — вычти его вероятность из 1. «И», «или», «не» из логики прямо переходят в вероятность.