Множества
Множество — это набор различных вещей, и как только ты можешь спросить, что в нём, ты можешь соединять множества объединением и пересечением.
В вазе для фруктов лежат яблоко, груша и банан. Неважно, в каком порядке они стоят, и второе яблоко не сделало бы её «более вазой» — это просто набор различных вещей. Математика называет такой набор множеством. К концу урока ты сможешь объединять любые два таких набора и точно сказать, что у них общего — это умение лежит в основе баз данных, фильтров и любой системы прав доступа.
После этого урока ты можешь сказать, что такое множество, решить, входит ли что-то в множество, назвать размер множества и соединять два множества объединением и пересечением.
Множество — это набор различных вещей. Вещи в множестве — его элементы. Мы
записываем множество, перечисляя его элементы в фигурных скобках: множество {1, 2, 3}
имеет элементы 1, 2 и 3. Порядок не важен, а элемент либо внутри, либо снаружи —
перечислить его дважды ничего не меняет.
Основной вопрос о множестве — принадлежность: входит ли эта вещь в него? Для
множества {1, 2, 3} число 2 является элементом — оно в множестве. Число 5 не
является элементом — оно снаружи. Всякое множество делит мир надвое: вещи, которые
принадлежат, и вещи, которые нет.
Размер множества — это сколько у него элементов. У множества {1, 2, 3} размер 3.
Множество может быть и пустым — у пустого множества нет элементов вовсе, и его
размер 0. Пустое множество всё равно вполне хорошее множество; это просто набор из
ничего.
Два множества соединяются объединением и пересечением. Подумай: когда ты делаешь запрос к базе данных за пользователями, которые являются администраторами или подписчиками, тебе нужно их объединение (union); когда хочешь тех, кто является и теми, и другими — нужно пересечение (intersection). Объединение двух множеств — это всё, что есть хотя бы в одном из них: все элементы, собранные вместе, каждый перечислен один раз. Пересечение — это всё, что есть в обоих: только те элементы, которые два множества делят. Объединение — щедрое соединение; пересечение — строгое.
Множество A — это {1, 2, 3}, а множество B — {2, 3, 4}. Найди их объединение и
их пересечение.
Объединение собирает каждый элемент, который есть в A или в B, каждый посчитан один
раз. Из A: 1, 2, 3. Из B новые: 4. Объединение — {1, 2, 3, 4}, размер 4.
Пересечение оставляет только элементы, что есть в обоих, A и B. Есть ли 1 в обоих?
Нет, только в A. Есть ли 2 в обоих? Да. Есть ли 3 в обоих? Да. Есть ли 4 в обоих? Нет,
только в B. Пересечение — {2, 3}, размер 2.
Объединение всегда хотя бы такое же большое, как любое из множеств; пересечение всегда не больше меньшего множества.
▸Почему это работает
Почему перечислить элемент дважды ничего не меняет? Потому что множество записывает
лишь входит ли что-то, а не сколько раз. Принадлежность — вопрос «да или нет», как
значения истинности из начала этого раздела. {1, 1, 2} и {1, 2} — одно и то же
множество: оба отвечают «входит ли 1?» — да и «входит ли 2?» — да. Никакого «сколько
копий» отслеживать не нужно.
▸Частая ошибка
Частая ошибка — путать объединение и пересечение, принимая пересечение {1,2,3} и
{2,3,4} за большее {1,2,3,4}. Пересечение оставляет только общие элементы, значит
это меньшее {2,3}. Объединение собирает всё; пересечение оставляет только перекрытие.
Если сомневаешься: объединение значит «или», пересечение значит «и».
Сколько элементов в множестве {2, 4, 6, 8}? Напиши размер.
Чему равен размер пустого множества? Напиши число.
A — это {1, 2, 3}, B — это {3, 4}. Чему равен размер их объединения? Напиши число.
A — это {1, 2, 3}, B — это {3, 4}. Чему равен размер их пересечения? Напиши число.
Число 5 — элемент множества {1, 2, 3}? Напиши 1 для да, 0 для нет.
Что такое пересечение двух множеств?
Множество — это набор различных вещей, называемых его элементами, записанных в фигурных скобках; порядок и повторы не важны. Основной вопрос о множестве — принадлежность, входит ли вещь в него. Размер множества — это его счёт элементов, а у пустого множества размер 0. Два множества соединяются объединением (всё, что хотя бы в одном) и пересечением (только то, что в обоих). Теперь, когда встретишь фильтр, условие JOIN или проверку прав доступа, ты сразу спросишь себя: мне нужно объединение или пересечение — и сразу будешь знать, что выбрать.
Практика
Начни сверху. Задачи идут от простого к сложному: вспомнить факт, применить к случаю, затем senior-уровень. Открой, попробуй, потом открой ответ.
Что-то непонятно?
Задай вопрос по этому уроку. Вопросы анонимны и попадают напрямую автору — урок станет лучше.
Примени это
Примени этот урок в реальном проекте.