Математика с нуля
И, или, не
«Я пойду гулять, если солнечно И тепло.» Оба должны выполниться. «Я пойду, если солнечно ИЛИ тепло.» Хватает любого одного. Поменяй одно слово — и всё правило меняется. Эти короткие слова — механика логики.
После этого урока ты можешь соединять высказывания с помощью И и ИЛИ, переворачивать высказывание с помощью НЕ и вычислять значение истинности составного высказывания из значений истинности его частей.
Логика строит большие высказывания из меньших с помощью И, ИЛИ и НЕ. Ты знаешь, что каждое высказывание истинно или ложно. Эти три слова берут высказывания и дают новое высказывание, чьё значение истинности зависит от частей. Выучи, как ведёт себя каждое слово, и сможешь вычислить любое сочетание.
И истинно только тогда, когда обе части истинны. «Солнечно И тепло» истинно лишь
если «солнечно» истинно и «тепло» истинно. Если хотя бы одна часть ложна, всё И
ложно. Обе должны выполниться — истина И истина истинно; всякий другой случай ложен.
ИЛИ истинно, когда истинна хотя бы одна часть. «Солнечно ИЛИ тепло» истинно, если «солнечно» истинно, или «тепло» истинно, или оба. Единственный способ сделать ИЛИ ложным — когда обе части ложны. Одной истинной части хватает, чтобы всё ИЛИ стало истинным.
НЕ переворачивает значение истинности высказывания. НЕ берёт одно высказывание и обращает его. НЕ от истинного высказывания — ложь; НЕ от ложного — истина. «НЕ идёт дождь» истинно ровно тогда, когда «идёт дождь» ложно. НЕ — это выключатель, который превращает 1 в 0 и 0 в 1.
Вычисли значение истинности трёх составных высказываний. Используй факты: «5 > 3» истинно, «2 > 9» ложно.
(5 > 3) И (2 > 9): части — истина и ложь. И требует обе истинными, а одна ложна,
значит всё это ложно.
(5 > 3) ИЛИ (2 > 9): части — истина и ложь. ИЛИ требует хотя бы одну истинной, а
первая часть истинна, значит всё это истинно.
НЕ (2 > 9): часть «2 > 9» ложна. НЕ переворачивает её, значит НЕ (2 > 9)
истинно.
Каждый результат вышел только из значений истинности частей и правила для соединяющего слова.
Почему это работает
Почему ИЛИ истинно, даже когда выполняется только одна часть? Потому что житейское «или» обычно значит «хотя бы одно» — «возьми шляпу или очки» выполнено, если возьмёшь любое, и всё ещё выполнено, если возьмёшь оба. Логика закрепляет этот смысл точно: ИЛИ не срабатывает только когда не срабатывает всё. Это щедрая связка; И — строгая.
Частая ошибка
Частая ошибка — читать ИЛИ как «ровно одно, не оба», думая, что истина ИЛИ истина
ложно. В логике ИЛИ истинно всякий раз, когда истинна хотя бы одна часть, и это
включает случай, когда истинны обе. истина ИЛИ истина истинно. ИЛИ не срабатывает,
только когда обе части ложны.
Вычисли: истина И истина. Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Вычисли: истина И ложь. Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Вычисли: истина ИЛИ ложь. Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Вычисли: ложь ИЛИ ложь. Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Вычисли: НЕ истина. Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Когда высказывание, соединённое через ИЛИ, ложно?
Логика строит большие высказывания тремя словами. И истинно только когда обе части истинны. ИЛИ истинно, когда истинна хотя бы одна часть, и ложно только когда обе ложны. НЕ переворачивает значение истинности высказывания, превращая истину в ложь и ложь в истину. Чтобы вычислить любое сочетание, возьми значение истинности каждой части и примени правило для соединяющего слова.