Математика с нуля
Истина и ложь
Выключатель света либо включён, либо выключен — никогда наполовину. Логика обращается с предложениями так же. Предложение «5 больше 3» просто включено: истинно. «2 плюс 2 равно 5» просто выключено: ложно. Без середины.
После этого урока ты можешь сказать, что такое высказывание, отличить высказывание от предложения, которое им не является, и назвать значение истинности высказывания.
Высказывание — это предложение, которое определённо истинно или определённо ложно. «5 больше 3» — это высказывание, и оно истинно. «2 плюс 2 равно 5» — тоже высказывание, и оно ложно. Высказываниями их делает то, что каждое твёрдо ложится на одну сторону: истина или ложь.
Не всякое предложение — высказывание. «Который час?» — это вопрос, он не истинен и не ложен. «Закрой дверь» — это приказ, тоже ни то, ни другое. «Этот суп вкусный» — это мнение, у него нет фиксированного ответа, с которым все обязаны согласиться. Только предложения, определённо истинные или определённо ложные, считаются высказываниями в логике.
У всякого высказывания одно значение истинности: истина или ложь. Значение
истинности высказывания — это то, какое из двух оно. Полезно записывать их числами:
1 для истины, 0 для лжи — как выключатель включён или выключен. Всякое высказывание
несёт ровно одно из них и никогда оба.
Значение истинности зафиксировано — это и делает логику возможной. Поскольку «5 > 3» истинно и остаётся истинным, ты можешь строить длинное рассуждение поверх него, и почва не уйдёт из-под ног. Логика — это изучение соединения высказываний; она работает только потому, что каждое высказывание стоит неподвижно на одном значении истинности. Следующий урок их соединяет.
Реши, какие из этих предложений — высказывания, и назови значение истинности каждого, которое им является.
«7 больше 2» — это определённо истинно. Это высказывание, значение истинности — истина
(1).
«4 равно 5» — это определённо ложно. Это высказывание, значение истинности — ложь
(0).
«Пожалуйста, садись» — это приказ. Он не истинен и не ложен, значит это вовсе не высказывание.
«Идёт ли дождь?» — это вопрос. Опять не истинен и не ложен, значит не высказывание.
Два из четырёх — высказывания; другие два просто не тот вид предложений, с которым работает логика.
Почему это работает
Почему логика отказывает вопросам, приказам и мнениям? Потому что работа логики — надёжно соединять факты, а для этого каждому кусочку нужен определённый, неизменный ответ. У вопроса нет ответа для соединения; у мнения ответ меняется от человека к человеку. Только предложение, прикреплённое к истине или лжи, даёт логике что-то твёрдое для построения.
Частая ошибка
Частая ошибка — думать, что высказывание обязано быть истинным, чтобы считаться высказыванием. Это не так. «2 + 2 = 5» — вполне хорошее высказывание, у него просто значение истинности — ложь. Высказыванию нужно лишь быть определённо истинным или определённо ложным. Ложность не лишает его звания.
Высказывание '7 > 2' истинно? Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Высказывание '4 = 5' истинно? Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Высказывание '3 + 3 = 6' истинно? Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Высказывание истинно. Записанное числом, какое у него значение истинности?
Высказывание '10 < 9' истинно? Напиши 1 для истины, 0 для лжи.
Какое предложение — высказывание в логическом смысле?
Высказывание — это предложение, которое определённо истинно или определённо ложно. Вопросы, приказы и мнения — не высказывания, у них нет фиксированного значения истинности. У всякого высказывания ровно одно значение истинности, истина или ложь, часто записываемое как 1 или 0. Это значение зафиксировано, и эта неподвижность и позволяет логике строить надёжное рассуждение из высказываний.