Математика с нуля
Графики
Таблица входов и выходов верна, но её трудно почувствовать. Помести каждую пару точкой на сетку — и что-то происходит: точки выстраиваются, поднимаются или загибаются. Функция становится формой, которую видно с одного взгляда. Эта картинка — график.
После этого урока ты можешь сказать, что такое график, читать точку как пару вход-выход, объяснить, почему линейная функция рисуется прямой линией, и считывать с графика выход для заданного входа.
График показывает функцию как точки на сетке. У сетки два направления. Горизонтальная ось, идущая поперёк, несёт вход. Вертикальная ось, идущая вверх, несёт выход. Каждая пара вход-выход, которую даёт функция, становится одной точкой на этой сетке.
Каждая точка записывается парой: (вход, выход). Точку называют двумя числами в
скобках. Первое — насколько поперёк, это вход. Второе — насколько вверх, это выход.
Точка (3, 9) значит «вход 3 дал выход 9»: иди 3 поперёк, потом 9 вверх и поставь
точку.
Линейная функция рисуется прямой линией. Картинка выше — это функция y = 2x.
Каждый шаг вправо двигает на одно и то же расстояние вверх — это и значило «линейная» —
поэтому точки никогда не сгибаются. Они ложатся ровно на одну прямую линию. Увидеть
прямую линию — это и есть способ узнать линейную функцию с одного взгляда.
Чтобы считать выход с графика, начни со входа и иди вверх до линии. Выбери значение на горизонтальной оси — скажем, 4. Двигайся прямо вверх от него, пока не встретишь линию. Потом посмотри поперёк на вертикальную ось: эта высота — выход. На графике выше вход 4 встречает линию на высоте 8 — значит функция даёт 8.
Построй функцию y = x + 2 и проверь, что её точки образуют прямую линию.
Собери несколько пар вход-выход. Вход 0: 0 + 2 = 2, точка (0, 2). Вход 1:
1 + 2 = 3, точка (1, 3). Вход 2: точка (2, 4). Вход 3: точка (3, 5).
Поставь эти точки: (0,2), (1,3), (2,4), (3,5). Каждый шаг вправо двигает ровно
на 1 шаг вверх — один и тот же шаг каждый раз.
Поскольку шаг не меняется, точки выстраиваются идеально прямо. y = x + 2 линейная,
значит её график — прямая линия, как и ожидалось.
Почему это работает
Почему постоянный шаг вынуждает прямую линию и ничто другое? Представь, что идёшь по графику слева направо. На каждом входе ты делаешь один шаг вправо и тот же подъём вверх. Один и тот же ход, повторённый — твой путь не может загнуться, ведь загиб потребовал бы, чтобы подъём изменился. Меняющийся подъём гнёт график; постоянный подъём может нарисовать только линию.
Частая ошибка
Частая ошибка — читать точку в неверном порядке, принимая (3, 7) за «вход 7, выход
3». Порядок закреплён: первое число поперёк (вход), второе число вверх (выход).
(3, 7) — это вход 3, выход 7. Всегда читай пару с левого числа, как насколько-поперёк,
потом насколько-вверх.
На графике y = 2x какой выход даёт вход 4? Напиши его.
Для точки (3, 7) чему равен вход? Напиши его.
Для точки (3, 7) чему равен выход? Напиши его.
На графике y = x + 1 какой выход даёт вход 5? Напиши его.
На графике y = 2x какой выход даёт вход 0? Напиши его.
Что значит точка (3, 7) на графике функции?
График показывает функцию как точки на сетке: горизонтальная ось несёт вход, вертикальная ось — выход. Каждая точка — это пара (вход, выход), сначала поперёк, потом вверх. Линейная функция рисуется прямой линией, ведь её постоянный шаг не может загнуться. Чтобы считать выход, иди вверх от входа, пока не встретишь линию, затем поперёк до выхода.