Математика с нуля
Линейные функции
Такси берёт 3 монеты в тот момент, когда ты садишься, потом ещё 2 монеты за каждый километр. Один километр: 5 монет. Два: 7. Три: 9. Цена растёт на один и тот же шаг каждый раз — этот ровный, предсказуемый подъём и есть линейная функция.
После этого урока ты можешь сказать, что делает функцию линейной, прочитать её две части — скорость и начальное значение — из формулы и вычислить её выход для любого входа.
Линейная функция меняется на одну и ту же величину с каждым шагом входа. Увеличь вход на 1 — и выход поднимется (или опустится) на фиксированную величину, всегда одну и ту же. Такси добавляет ровно 2 монеты за километр, никогда 2, потом 3. Этот постоянный шаг и делает функцию линейной.
У линейной функции форма: скорость, умноженная на вход, плюс начальное значение.
Такси — это стоимость = 2 × n + 3, где n — километры. 2 — это ровный шаг; 3 —
то, что ты платишь ещё до того, как тронулся. Всякая линейная функция вписывается в эту
форму: число, умноженное на вход, плюс другое число.
Скорость — это наклон; начальное значение — выход при входе 0. Число, умноженное на
вход, — это наклон: насколько сдвигается выход за 1 шаг входа. В 2n + 3 наклон —
2. Другое число — начальное значение: выход, когда вход равен 0. В 2n + 3 оно
3: при 0 километрах стоимость уже 3 монеты.
Ровная скорость даёт прямую линию. Точки выше — (0,3), (1,5), (2,7) и дальше
— все лежат на одной прямой линии. Они обязаны: каждый шаг вправо двигает на одно и то
же расстояние вверх, поэтому точки никогда не сгибаются. Именно поэтому функция и
называется линейной — её график это линия. Следующий урок рассмотрит этот график
вблизи.
Такси стоит 2n + 3 монет за n километров. Найди стоимость поездки на 4
километра.
Функция линейная: наклон 2 (монет за километр), начальное значение 3 (монет просто
за начало).
Подставь вход n = 4. Сначала часть со скоростью: 2 × 4 = 8. Потом прибавь начальное
значение: 8 + 3 = 11.
Поездка на 4 километра стоит 11 монет. Проверь узор: 3 км стоили 9, и ещё один
километр добавляет ровно наклон, 2 — выходит 11. Ровный шаг держится.
Почему это работает
Почему начальное значение — это выход при входе 0? Потому что при входе 0 часть со
скоростью не вносит ничего: 2 × 0 = 0. Каким бы ни был выход в этот момент, он целиком
приходит от другого числа. Значит начальное значение — буквально то, где функция
начинается до того, как вход сделал хоть какую-то работу: показание счётчика, пока
такси не тронулось.
Частая ошибка
Частая ошибка — путать два числа, принимая начальное значение за скорость. В 2n + 3
число, приставленное к входу n, — это скорость (2); число, стоящее отдельно, — это
начальное значение (3). Скорость умножает вход; начальное значение просто стоит.
Проверяй, какое число касается переменной.
Такси стоит 2n + 3 монет за n километров. Найди стоимость при n = 5. Напиши её.
В линейной функции y = 4x + 1 чему равен наклон? Напиши его.
В линейной функции y = 4x + 1 чему равно начальное значение? Напиши его.
Для линейной функции y = 3x найди выход при x = 6. Напиши его.
Для линейной функции y = 2x + 1 найди выход при x = 0. Напиши его.
Что делает функцию линейной?
Линейная функция меняется на одну и ту же фиксированную величину с каждым шагом входа. У неё форма: скорость, умноженная на вход, плюс начальное значение. Скорость — число, умноженное на вход, — это наклон, насколько сдвигается выход за шаг. Начальное значение — выход, когда вход равен 0. Поскольку шаг постоянный, точки линейной функции ложатся на прямую линию.