Математика с нуля
Что такое функция
Торговый автомат: нажми B3 — выпадает определённая газировка. Нажми B3 снова — та же газировка, каждый раз. Нажми A1 — другой снек, но опять всегда один и тот же. Машина, где у каждой кнопки один фиксированный результат, — это ровно то, что математика называет функцией.
После этого урока ты можешь сказать, что такое функция, назвать её вход и выход, пользоваться записью функции и объяснить одно правило, которому подчиняется всякая функция: один вход — один выход.
Функция — это правило, которое превращает вход в выход. Ты кладёшь число внутрь, правило что-то с ним делает, и выходит число. Число, которое ты кладёшь, — это вход; число, которое выходит, — это выход. Функция — машина между ними, фиксированное правило, соединяющее эти двое.
Запись функции называет правило и показывает вход. Мы записываем функцию буквой,
часто f, и ставим вход в скобки. f(3) значит «подай вход 3 в правило f». Если f
— правило удвоения, то f(3) = 6, f(5) = 10. Выражение в скобках — вход; результат —
выход.
Одно правило: у каждого входа ровно один выход. Подай один и тот же вход дважды — и функция обязана вернуть один и тот же выход оба раза. Машина, которая для кнопки B3 иногда давала бы одну газировку, а иногда другую, не была бы функцией. «Тот же вход — тот же выход, всегда» — это правило, которое и делает нечто функцией.
Функция не обязана быть формулой. Правило удвоения — это формула, 2 × n. Но
функция может быть и просто таблицей: вход 1 → выход 7, вход 2 → выход 7, вход 3 →
выход 2. Пока у каждого входа ровно один выход, это функция — правило может быть
формулой, таблицей или даже картинкой.
Функция f следует правилу «прибавь 5 к входу». Найди f(3) и f(10).
Правило: какое бы число ни вошло, прибавь к нему 5. Запиши его как f(n) = n + 5.
Для f(3): вход — 3. Прибавь 5: 3 + 5 = 8. Значит f(3) = 8.
Для f(10): вход — 10. Прибавь 5: 10 + 5 = 15. Значит f(10) = 15.
Заметь, что подать 3 снова дало бы снова 8 — один и тот же вход всегда даёт один и тот же выход. Эта постоянность и делает «прибавь 5» функцией.
Почему это работает
Зачем настаивать на ровно одном выходе на вход? Потому что функция задумана как
надёжная — ты задаёшь ей вопрос и доверяешь ответу. Если бы f(3) могло быть 8
сегодня и 2 завтра, правило ничего бы не предсказывало. Правило одного выхода и
позволяет строить на функции: каждый следующий шаг может опираться на то, что её ответ
зафиксирован.
Частая ошибка
Частая ошибка — думать, что функция обязана быть формулой вроде 2n + 1. Формулы —
самые частые функции, но настоящее определение шире: любое правило, сопоставляющее
каждому входу ровно один выход. Таблица соответствий — функция. Формула — один способ
записать функцию, а не её определение.
Функция f(n) = n + 5. Найди f(3). Напиши выход.
Функция f(n) = 2n. Найди f(7). Напиши выход.
Функция f(n) = n − 1. Найди f(10). Напиши выход.
Функция f(n) = 3n. Найди f(0). Напиши выход.
Функция f(n) = 2n. Найди f(4). Напиши выход.
Какому правилу подчиняется всякая функция?
Функция — это правило, которое берёт вход и возвращает выход. Запись функции, вроде
f(3), называет правило и показывает вход в скобках. Одно правило, которому
подчиняется всякая функция, — у каждого входа ровно один выход: один и тот же вход
всегда даёт один и тот же результат. Функция может быть формулой, таблицей или
картинкой; формула — лишь один способ её записать.