Математика с нуля
Неравенства
Табличка у аттракциона говорит «тебе должно быть не меньше 12 лет». Это не один возраст — подходит и 12-летний, и 13-летний, и 40-летний. Правило описывает целый диапазон возрастов сразу. Математика записывает такое правило как неравенство.
После этого урока ты можешь сказать, что такое неравенство, читать четыре знака сравнения, понимать, что ответ неравенства — это диапазон, и решать простое неравенство так же, как решаешь уравнение.
Неравенство сравнивает две стороны вместо того, чтобы приравнивать их. В уравнении
знак =. В неравенстве знак сравнения: > (больше), < (меньше), ≥ (не меньше
— больше или равно) или ≤ (не больше — меньше или равно). x > 4 говорит «x —
какое-то число больше 4».
Ответ неравенства — это диапазон чисел, а не одно число. Решение x + 3 = 7 дало
ровно одно значение, x = 4. Но x > 4 верно для 5, для 6, для 7 — для каждого
числа после 4. Решение неравенства — это весь набор значений, делающих его верным:
диапазон, а не точка.
Числовая прямая выше показывает диапазон. Неравенство x > 4 отмечено: каждое
значение справа от 4 подсвечено, ведь каждое из них удовлетворяет «больше 4». Само
число 4 не подсвечено — > значит строго больше. Будь знак ≥, четвёрка тоже вошла
бы в диапазон.
Решай неравенство так же, как уравнение. Правило весов всё ещё работает: что бы ты
ни прибавил, ни вычел, ни умножил, ни разделил с одной стороны — положительными
числами — сделай с другой, и неравенство останется верным. Поэтому реши x + 3 > 7,
вычтя 3 из обеих сторон, ровно как для уравнения, дойдя до x > 4.
Реши 2x + 1 > 9.
Считай это как уравнение 2x + 1 = 9, но сохраняй знак > всюду.
Отмени + 1: вычти 1 из обеих сторон. Неравенство становится 2x > 8.
Отмени × 2: раздели обе стороны на 2. Неравенство становится x > 4.
Решение — x > 4, каждое число больше 4. Проверь одно: x = 5 даёт 2 × 5 + 1 = 11,
и 11 > 9 верно. Проверь число не из диапазона: x = 4 даёт 9, и 9 > 9 ложно —
правильно исключено.
Почему это работает
Почему ответ — диапазон, а не одно значение? Потому что сам вопрос свободнее. Уравнение прикалывает переменную к одной точной точке — «где точка равновесия?» Неравенство лишь спрашивает «по какую сторону границы?» Много чисел лежат по одну сторону, значит много чисел отвечают на него. У более свободного вопроса естественно более широкий ответ.
Частая ошибка
Частая ошибка — сообщать одно число как ответ: записать решение x > 4 как «5». 5 —
одно решение, но и 6, и 7, и 100 тоже. Полный ответ — это диапазон x > 4. Назвать
одно значение из диапазона и остановиться — значит упустить почти весь ответ.
Реши x + 2 > 10. Решение — x > граница; напиши эту границу.
Реши x − 1 < 5. Решение — x < граница; напиши эту границу.
В неравенстве x ≥ 7 какое наименьшее значение разрешено для x? Напиши его.
Реши 3x > 12. Решение — x > граница; напиши эту границу.
9 — решение неравенства x > 5? Напиши 1 для да, 0 для нет.
Ты решаешь неравенство и доходишь до x > 4. Каково решение?
Неравенство сравнивает две стороны знаками >, <, ≥ или ≤ вместо =. Его ответ
— не одно число, а целый диапазон: каждое значение по нужную сторону границы. Решаешь
неравенство так же, как уравнение, применяя правило весов с положительными числами,
пока переменная не останется одна. Результат — диапазон, и весь диапазон и есть ответ.