Математика с нуля
Уравнения
Представь весы, ровные и неподвижные. На левой чаше: загадочный груз плюс блок в 3 грамма. На правой чаше: блок в 7 граммов. Чаши уравновешены — значит загадочный груз ровно 4 грамма. Ты только что решил уравнение.
После этого урока ты можешь сказать, что такое уравнение, объяснить, что значит его решить, использовать правило весов, чтобы уравнение оставалось верным, и решить простое уравнение, отменяя его действия обратными.
Уравнение говорит, что два выражения равны. В отличие от голого выражения, у
уравнения есть знак равенства, и оно делает заявление: то, что слева, и то, что
справа, — одно и то же число. x + 3 = 7 заявляет, что x + 3 и 7 равны. Уравнение
— это уравновешенные весы, а = — точка равновесия.
Решить уравнение — значит найти значение переменной, которое делает его верным. Для
x + 3 = 7 решение — это число, которое можно поставить вместо x, чтобы обе
стороны и правда были равны. Здесь это x = 4, ведь 4 + 3 действительно равно 7.
Решение — это поиск того значения.
Правило весов: что бы ты ни сделал с одной стороной, сделай с другой. Весы остаются ровными, только если обе чаши меняются вместе. То же верно для уравнения: если ты прибавляешь, вычитаешь, умножаешь или делишь на одной стороне, ты обязан сделать такое же с другой стороной. Тогда обе стороны остаются равными, а решение не меняется.
Решай, отменяя действия их обратными. Чтобы оставить переменную одну, сними всё,
что к ней приставлено, — обратным действием. У x + 3 = 7 на переменной + 3; отмени
его, вычтя 3 из обеих сторон: x = 4. Сложение отменяется вычитанием, умножение —
делением. Отменяй, пока переменная не останется сама по себе.
Реши 2x + 1 = 9.
К переменной x приставлены две вещи: её умножают на 2, потом прибавляют 1. Отменяй их
в обратном порядке, сначала внешнее.
Отмени + 1: вычти 1 из обеих сторон. Слева станет 2x, справа 8. Теперь уравнение
— 2x = 8.
Отмени × 2: раздели обе стороны на 2. Слева станет x, справа 4. Значит x = 4.
Проверь подстановкой обратно в исходное: 2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9. Совпадает, значит
x = 4 верно.
Почему это работает
Почему нужно делать одно и то же с обеими сторонами? Потому что всё заявление уравнения в том, что две стороны равны. Измени только одну сторону — и это заявление сломается: ты будешь описывать другое уравнение с другим решением. Одинаковый ход с обеими сторонами держит весы ровными, поэтому значение переменной не сдвигается.
Частая ошибка
Самая частая ошибка — действовать только на одной стороне: вычесть 1 слева у
2x + 1 = 9, оставив справа 9. Это молча меняет уравнение. Каждый ход обязан
коснуться обеих сторон одинаково. Вычитаешь 1 — вычти и слева, и справа.
Реши x + 5 = 12. Напиши значение x.
Реши x − 3 = 10. Напиши значение x.
Реши 2x = 14. Напиши значение x.
Реши 3x + 2 = 20. Напиши значение x.
Реши x ÷ 2 = 5. Напиши значение x.
Чтобы решить 2x + 1 = 9, ты вычитаешь 1. Где должно произойти вычитание?
Уравнение говорит, что два выражения равны, и отмечено знаком равенства. Решить его — найти значение переменной, которое делает заявление верным. Правило весов держит уравнение честным: что бы ты ни сделал с одной стороной, сделай с другой. Решай, отменяя приставленные к переменной действия их обратными — вычитание отменяет сложение, деление отменяет умножение — пока переменная не останется одна.