Математика с нуля
Перестановки
Трое бегунов финишируют в забеге. Золото, серебро, бронза — но в каком порядке? Любой из
3 может взять золото; потом любой из оставшихся 2 берёт серебро; последний берёт
бронзу. 3 × 2 × 1 = 6 возможных пьедесталов. Этот счёт порядков и есть перестановка.
После этого урока ты можешь сказать, что такое перестановка, посчитать расположения набора предметов, пользоваться факториалом и считать расположения, когда ты ставишь лишь некоторые из предметов.
Перестановка — это расположение, в котором порядок важен. Выстроить 3 бегунов на пьедестале, расставить книги на полке, выбрать первый и второй приз — всё это заботится о том, какое место занимает каждый предмет. Перестановка — одно такое упорядоченное расположение, а вопрос — сколько их.
Считай перестановки правилом умножения — но варианты убывают. У первого места есть
все n предметов на выбор. Как только один поставлен, у второго места осталось лишь
n − 1, у третьего n − 2, и так далее. По правилу умножения ты перемножаешь эти
убывающие счёты: для 3 бегунов 3 × 2 × 1.
Перемножение целого числа вниз до 1 называется факториалом. Произведение
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 — это факториал числа n, записывается n!. Значит
3! = 6 и 4! = 24. Число способов расположить все n предметов по порядку — это
ровно n!; факториалы и полные расположения — один и тот же счёт.
Чтобы расположить лишь некоторые предметы, прекрати умножать раньше. Если ты
ставишь только r предметов из n, тебе нужны лишь первые r убывающих множителей.
Выбор 1-го и 2-го приза из 5 человек заполняет 2 места: 5 × 4 = 20. Ты берёшь
столько множителей, сколько мест, начиная с n и считая вниз.
Сколькими порядками можно расставить 4 разные книги на полке?
Все 4 книги ставятся, и порядок важен — это перестановка всех 4.
У самого левого места 4 книги на выбор. У следующего места осталось 3, потом 2, потом
последняя книга заполняет последнее место — 1 способ. Перемножь убывающие счёты:
4 × 3 × 2 × 1.
Это произведение — 4!, а 4! = 24. Есть 24 порядка. Заметь, как быстро это растёт:
3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 — факториалы растут даже быстрее степеней.
Почему это работает
Почему варианты убывают на единицу каждый раз? Потому что предмет, однажды поставленный, израсходован — он не может появиться на втором месте. Первое место брало из полного набора; второе берёт из того, что осталось. Каждая постановка убирает один предмет, значит запас вариантов падает ровно на единицу на каждом шаге. Это ровное убывание и порождает факториал.
Частая ошибка
Частая ошибка — использовать полный факториал, когда ты ставишь лишь некоторые предметы.
Расположить 3 из 5 человек — это 5 × 4 × 3 = 60, а не 5! = 120. Бери лишь столько
убывающих множителей, сколько мест нужно заполнить. 5! расположило бы всех пятерых,
а это другой вопрос.
Вычисли 3! (это 3 × 2 × 1). Напиши значение.
Вычисли 4!. Напиши значение.
Расположи 3 из 5 человек по порядку: 5 × 4 × 3. Напиши счёт.
Вычисли 5!. Напиши значение.
Сколькими порядками можно расположить 2 предмета? Напиши счёт.
Почему число способов расположить 4 предмета равно 4 × 3 × 2 × 1?
Перестановка — это расположение, где порядок важен. Считай перестановки правилом
умножения, но учитывай, что варианты убывают на единицу на каждом месте по мере
расходования предметов. Перемножение целого числа вниз до 1 — это факториал, n!, и
n! — это число способов расположить все n предметов. Чтобы расположить лишь r из
них, бери только первые r убывающих множителей.