Правило умножения
Когда ты делаешь несколько независимых выборов подряд, число возможных исходов — это варианты, перемноженные вместе: считай, ни разу не перечисляя.
У тебя 3 рубашки и 2 пары брюк. Сколько разных нарядов можно собрать? Можно перечислить все — но есть способ быстрее. Выбери рубашку 3 способами, потом брюки 2 способами: 3 умножить на 2 — это 6 нарядов, посчитанных без единой записи.
После этого урока ты можешь сформулировать правило умножения, применять его к двум и более выборам подряд и объяснить, почему подсчёт исходов означает умножение.
Правило умножения: перемножь число вариантов на каждом выборе. Если один выбор
можно сделать A способами, а второй выбор — B способами, то сделать оба — один за
другим — можно A × B способами. Три рубашки и две пары брюк дают 3 × 2 = 6
нарядов.
Правило расширяется на сколько угодно выборов. Добавь третий выбор с C
вариантами — и итог становится A × B × C. Каждый новый независимый выбор снова
умножает счёт. Завтрак из одной каши из 4, одного фрукта из 3 и одного напитка из 2
имеет 4 × 3 × 2 = 24 возможности.
Правило работает, когда выборы независимы. Независимы значит, что варианты каждого выбора не зависят от того, что ты выбрал раньше — всякая рубашка по-прежнему сочетается со всякой парой брюк. Когда это так, ты просто умножаешь. Если у позднего выбора варианты сужаются из-за раннего, простое умножение нужно поправить — это разбирает следующий урок.
Вот почему комбинаторика построена на умножении. Подсчёт возможностей перечислением работает для крошечных задач и рушится на настоящих — 10 выборов по 10 вариантов дали бы десять миллиардов исходов. Правило умножения заменяет невозможный список одним умножением. Всякий приём подсчёта впереди растёт из этой одной мысли. Когда ты видишь задачу на подсчёт, спроси себя: сколько выборов и сколько вариантов на каждом? Потом умножай — список пишет себя сам.
Обед в кафе — это одно горячее из 4, один десерт из 3 и один напиток из 2. Сколько разных обедов возможно?
Тут три выбора подряд. Горячее предлагает 4 варианта, десерты 3, напитки 2.
Выборы независимы — любое горячее идёт с любым десертом и любым напитком.
Примени правило умножения: перемножь варианты на каждом выборе. 4 × 3 = 12, затем
12 × 2 = 24.
Возможно 24 обеда. Перечислять все 24 было бы медленно и легко ошибиться; умножение
даёт счёт в одну строку.
▸Почему это работает
Почему умножать, а не складывать? Потому что каждый вариант первого выбора открывает
свежий полный набор вариантов второго выбора. У рубашки 1 все 2 варианта брюк; у
рубашки 2 тоже; у рубашки 3 тоже. Это 2, три раза подряд — 2 + 2 + 2, то есть
3 × 2. Умножение — это повторное сложение, и это ровно форма подсчёта вложенных
выборов.
▸Частая ошибка
Частая ошибка — складывать варианты вместо умножения, говоря, что 3 рубашки и 2 брюк дают «5». Сложение отвечает на другой вопрос: «сколько у меня предметов одежды?» Правило умножения отвечает на «сколько сочетаний я могу составить?», а сочетания умножаются.
3 рубашки и 2 пары брюк. Сколько нарядов? Напиши счёт.
4 горячих и 5 десертов. Сколько обедов из горячего и десерта? Напиши счёт.
Подбрось монету 3 раза — у каждого броска 2 исхода. Сколько последовательностей исходов? Напиши счёт.
Ты делаешь один выбор из 10 вариантов. Сколько исходов? Напиши счёт.
5 шапок и 3 шарфа. Сколько пар шапка-и-шарф? Напиши счёт.
Ты делаешь выбор с 4 вариантами, потом отдельный выбор с 3 вариантами. Сколько совместных исходов?
Правило умножения говорит: когда ты делаешь несколько независимых выборов подряд,
перемножь число вариантов на каждом, чтобы получить общее число исходов. Оно
расширяется на любое число выборов — A × B × C и так далее. Оно работает, когда
выборы независимы. Подсчёт возможностей означает умножение, ведь каждый ранний вариант
открывает полный свежий набор поздних вариантов. Теперь, когда встретишь задачу на
подсчёт — пароли, меню, маршруты — твой первый шаг: найти выборы и перемножить, а не
перечислять.
Практика
Начни сверху. Задачи идут от простого к сложному: вспомнить факт, применить к случаю, затем senior-уровень. Открой, попробуй, потом открой ответ.
Что-то непонятно?
Задай вопрос по этому уроку. Вопросы анонимны и попадают напрямую автору — урок станет лучше.
Примени это
Примени этот урок в реальном проекте.