Математика с нуля
Правило умножения
У тебя 3 рубашки и 2 пары брюк. Сколько разных нарядов можно собрать? Можно перечислить все — но есть способ быстрее. Выбери рубашку 3 способами, потом брюки 2 способами: 3 умножить на 2 — это 6 нарядов, посчитанных без единой записи.
После этого урока ты можешь сформулировать правило умножения, применять его к двум и более выборам подряд и объяснить, почему подсчёт исходов означает умножение.
Правило умножения: перемножь число вариантов на каждом выборе. Если один выбор
можно сделать A способами, а второй выбор — B способами, то сделать оба — один за
другим — можно A × B способами. Три рубашки и две пары брюк дают 3 × 2 = 6
нарядов.
Правило расширяется на сколько угодно выборов. Добавь третий выбор с C
вариантами — и итог становится A × B × C. Каждый новый независимый выбор снова
умножает счёт. Завтрак из одной каши из 4, одного фрукта из 3 и одного напитка из 2
имеет 4 × 3 × 2 = 24 возможности.
Правило работает, когда выборы независимы. Независимы значит, что варианты каждого выбора не зависят от того, что ты выбрал раньше — всякая рубашка по-прежнему сочетается со всякой парой брюк. Когда это так, ты просто умножаешь. Если у позднего выбора варианты сужаются из-за раннего, простое умножение нужно поправить — это разбирает следующий урок.
Вот почему комбинаторика построена на умножении. Подсчёт возможностей перечислением работает для крошечных задач и рушится на настоящих — 10 выборов по 10 вариантов дали бы десять миллиардов исходов. Правило умножения заменяет невозможный список одним умножением. Всякий приём подсчёта впереди растёт из этой одной мысли.
Обед в кафе — это одно горячее из 4, один десерт из 3 и один напиток из 2. Сколько разных обедов возможно?
Тут три выбора подряд. Горячее предлагает 4 варианта, десерты 3, напитки 2.
Выборы независимы — любое горячее идёт с любым десертом и любым напитком.
Примени правило умножения: перемножь варианты на каждом выборе. 4 × 3 = 12, затем
12 × 2 = 24.
Возможно 24 обеда. Перечислять все 24 было бы медленно и легко ошибиться; умножение
даёт счёт в одну строку.
Почему это работает
Почему умножать, а не складывать? Потому что каждый вариант первого выбора открывает
свежий полный набор вариантов второго выбора. У рубашки 1 все 2 варианта брюк; у
рубашки 2 тоже; у рубашки 3 тоже. Это 2, три раза подряд — 2 + 2 + 2, то есть
3 × 2. Умножение — это повторное сложение, и это ровно форма подсчёта вложенных
выборов.
Частая ошибка
Частая ошибка — складывать варианты вместо умножения, говоря, что 3 рубашки и 2 брюк дают «5». Сложение отвечает на другой вопрос: «сколько у меня предметов одежды?» Правило умножения отвечает на «сколько сочетаний я могу составить?», а сочетания умножаются.
3 рубашки и 2 пары брюк. Сколько нарядов? Напиши счёт.
4 горячих и 5 десертов. Сколько обедов из горячего и десерта? Напиши счёт.
Подбрось монету 3 раза — у каждого броска 2 исхода. Сколько последовательностей исходов? Напиши счёт.
Ты делаешь один выбор из 10 вариантов. Сколько исходов? Напиши счёт.
5 шапок и 3 шарфа. Сколько пар шапка-и-шарф? Напиши счёт.
Ты делаешь выбор с 4 вариантами, потом отдельный выбор с 3 вариантами. Сколько совместных исходов?
Правило умножения говорит: когда ты делаешь несколько независимых выборов подряд,
перемножь число вариантов на каждом, чтобы получить общее число исходов. Оно
расширяется на любое число выборов — A × B × C и так далее. Оно работает, когда
выборы независимы. Подсчёт возможностей означает умножение, ведь каждый ранний вариант
открывает полный свежий набор поздних вариантов.