Математика с нуля
Рост: тест с выбором ответа
Суть Тест с выбором на синтез по всему юниту — отличить прибавление от умножения, понять, почему экспонента обгоняет линейный рост, и прочитать логарифм как обратный к степени показатель.
Высота — путь к senior
НольJuniorMiddleSenior
Ты на middle-высоте — в небеШесть вопросов через весь юнит. Каждый — маленькое решение: это прибавление или умножение, оно будет ползти или взорвётся, что на самом деле спрашивает этот логарифм — а не определение для заучивания.
Цель
Убедись, что отличаешь линейный рост от экспоненциального, можешь объяснить, почему умножение всегда обгоняет прибавление в долгой перспективе, и читаешь логарифм как показатель степени, обратный к экспоненте.
Викторина
Completed
Банка A начинает с 0 и прибавляет 8 каждый день. Банка B начинает с 1 и удваивается каждый день. На день 3 в A лежит 24, в B — 8. Какая банка больше далеко впереди, на день 10, и почему?
Heads-up Преимущество на старте ничего не говорит о долгой перспективе. Экспоненциальный рост часто стартует медленнее, потом его шаг перерастает любую фиксированную величину, и он отрывается.
Heads-up Обе растут, но по разным правилам. A прибавляет фиксированные 8; B умножает, поэтому её рост ускоряется. Одинакового дневного прироста тут нет.
Heads-up Это больший шаг только в самом начале. Как только итог B перевалит за 8, удвоение прибавляет больше 8 в день, и разрыв только растёт.
Викторина
Completed
Что из этого растёт экспоненциально, а не линейно?
Heads-up Прибавление одной и той же фиксированной величины на каждом шаге — это линейный рост, а не экспоненциальный. Экспоненциальный рост умножает на фиксированную величину.
Heads-up Постоянная фиксированная величина за единицу времени — линейный рост. Уровень поднимается на одни и те же 2 литра каждую минуту — без ускорения.
Heads-up Постоянная скорость прибавляет одну и ту же дистанцию каждую минуту, это линейно. Ничего не умножается.
Викторина
Completed
Что означает логарифм log₂(32) = 5?
Heads-up Логарифм это не деление. 32 ÷ 2 это 16, а не 5. log₂(32) спрашивает показатель степени, который достигает 32, и это 5, потому что 2⁵ = 32.
Heads-up Логарифм это не умножение двух чисел — и 2 × 5 это 10, а не 32. Это показатель степени, связывающий основание с целью.
Heads-up Логарифм не имеет ничего общего с вычитанием. Он отвечает на вопрос «2 в какой степени равно 32?» — ответ это показатель, 5.
Викторина
Completed
Начиная с 1 и удваивая, получаем 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Сколько удвоений нужно, чтобы впервые достичь 64, и как это связано с логарифмом?
Heads-up Удвоение это не прибавление по единице. Каждое удвоение умножает на 2, поэтому достижение 64 занимает всего 6 шагов, а не 64.
Heads-up Переход от 32 к 64 это одно удвоение, шестое. Весь подъём от 1 до 64 это 6 удвоений, поэтому log₂(64) = 6.
Heads-up Стартовая 1 это 2⁰ — ноль удвоений. Достижение 64 = 2⁶ занимает 6 удвоений, что даёт log₂(64) = 6.
Викторина
Completed
Почему кривая log₂ поднимается так медленно — пока вход бежит от 1 до 64, выход поднимается лишь от 0 до 6?
Heads-up Логарифм всё время растёт, никогда не убывая — он просто растёт очень медленно. Каждое удвоение входа прибавляет 1, поэтому к 64 он дошёл лишь до 6.
Heads-up Логарифмы прекрасно справляются с огромными числами — именно эта медленность и делает их полезными для измерения взрывного роста на управляемой шкале.
Heads-up Она не останавливается. Удвой вход ещё раз до 128, и логарифм дойдёт до 7. Он растёт вечно, по одному шагу на удвоение.
Викторина
Completed
Слух распространяется так: каждый человек рассказывает одному новому человеку каждый час, начиная с 1 человека. Какое описание верно?
Heads-up Каждый осведомлённый рассказывает новому, поэтому число рассказчиков растёт каждый час. Это умножение, а не прибавление фиксированной величины — экспонента, а не линейный рост.
Heads-up Распространение от человека к человеку умножает число, поэтому это экспоненциальный рост. Логарифм — лишь обратный измерительный инструмент, а не поздняя фаза распространения.
Heads-up Это хрестоматийный случай экспоненциального роста: величина, которая умножается на каждом шаге, в точности как удвоение денег или популяция.
Итог
Сквозная линия юнита: линейный рост прибавляет фиксированную величину на каждом шаге, экспоненциальный умножает на фиксированную величину — поэтому экспонента всегда обгоняет линейный рост в долгой перспективе, даже стартуя медленнее. Логарифм обращает эту экспоненту: log₂(N) это показатель на 2, достигающий N, то есть примерно сколько удвоений потребовалось. Поэтому логарифм поднимается всего на 1 за удвоение и превращает взрывной рост в маленькое, спокойное число.