Математика с нуля
Десятичные дроби
На ценнике написано 0.75 $. Дробь записала бы то же количество как 3/4 доллара. Оба
верны — это два способа записать одну и ту же часть целого. Тот, что с точкой, —
десятичная дробь.
После этого урока ты можешь сказать, что такое десятичная дробь, назвать места после десятичной точки, превратить простую дробь в десятичную и обратно и объяснить, почему 0.5 и 0.50 — это одно и то же число.
Десятичная дробь записывает дробь через разряды. Ты уже знаешь разряды целых чисел: единицы, десятки, сотни, каждый в десять раз больше прошлого. Десятичная дробь просто продолжает этот узор вниз, в места меньше единицы. Она позволяет записать часть целого без отдельных верхнего и нижнего чисел.
Десятичная точка отделяет целую часть от части меньше единицы. В 3.75 точка — это
десятичная точка. Всё слева от неё — целые единицы; всё справа — меньше единицы.
Первое место после точки — десятые (каждая стоит 1/10), следующее — сотые
(каждая стоит 1/100) — каждое место по-прежнему в десять раз меньше прошлого.
Десятичная и обыкновенная дробь — два имени одного количества. 0.7 — это 7
десятых, то есть дробь 7/10. 0.25 — это 2 десятых и 5 сотых, то есть 25/100 — а
25/100 упрощается до 1/4. Чтобы превратить дробь в десятичную, перепиши её так,
чтобы знаменатель стал 10 или 100, затем прочитай цифры в места после точки.
Ноль на правом конце десятичной дроби ничего не меняет. 0.5 — это 5 десятых.
0.50 — это 5 десятых и 0 сотых; лишний 0 не добавляет сотых, значит это то же
количество. 0.5 = 0.50. Это не как у целых чисел, где 0 справа важен (5 и 50
разные). Справа от десятичной дроби завершающий 0 — это просто пустое меньшее место.
Запиши дробь 3/4 как десятичную.
Десятичной нужен знаменатель 10, 100 и так далее. Можно ли переписать 3/4 с таким
знаменателем? Умножь верх и низ на 25: 3/4 = 75/100.
75/100 — это 75 сотых. Прочитай их в места после точки: 7 в разряд десятых, 5 в
разряд сотых. С нулём в целой части это 0.75.
Значит 3/4 = 0.75. Проверь обратно: 0.75 — это 75/100, а 75/100 упрощается —
раздели верх и низ на 25 — до 3/4.
Почему это работает
Почему та же идея разрядов доходит ниже единицы? Потому что разряды никогда не были про именно целые числа — они про то, что каждое место в десять раз больше следующего. Влево места растут в десять раз; вправо за точкой они уменьшаются в десять раз: десятые, сотые, тысячные. Десятичная точка просто отмечает, где стоит «единица», чтобы ты знал, в какую сторону клонится каждое место.
Частая ошибка
Частая ошибка — читать 0.7 как меньшее, чем 0.25, потому что «25 больше 7». Но
0.7 — это 7 десятых, а 0.25 — 25 сотых — места разного размера. 0.7 — это
0.70, то есть 70 сотых, явно больше 25. Сравнивай десятичные дроби место за местом от
точки, а не по голым строкам цифр.
0.7 равно дроби ?/10. Напиши числитель.
Запиши 0.6 как дробь со знаменателем 10. Напиши числитель.
0.50 — сколько это сотых? Напиши число.
Запиши дробь 1/2 как десятичную. Напиши её через точку.
0.25 равно дроби ?/100. Напиши числитель.
Почему 0.5 и 0.50 — это одно и то же число?
Десятичная дробь записывает дробь через разряды, продолжая узор ниже единицы. Десятичная точка отделяет целые единицы от части меньше единицы; места после неё — это десятые, сотые и так далее, каждое в десять раз меньше прошлого. Десятичная и обыкновенная дробь — два имени одного количества: перепиши дробь со знаменателем 10 или 100, чтобы прочитать её как десятичную. Ноль на правом конце десятичной дроби ничего не добавляет.