Математика с нуля
Вычитание
У тебя 5 яблок. Ты съедаешь 2. Остаётся три. Ты не уничтожил съеденные яблоки — ты просто убрал их из группы и посчитал, что осталось. Это «убирание» и есть вычитание.
После этого урока ты можешь сказать, что значит вычитание, назвать его результат, увидеть два житейских вопроса, на которые оно отвечает, вычитать небольшие числа, отсчитывая назад, и вычитать большие числа, занимая из следующего разряда.
Вычитание убирает одно количество из другого. Когда ты убираешь часть группы и
спрашиваешь «сколько осталось?», это вычитание. Мы записываем его знаком минус,
−. Так что 5 − 2 = 3 читается «пять убрать два получается три». Ты начинаешь с
первого числа, убираешь второе и читаешь, что осталось.
Результат вычитания называется разностью. В 5 − 2 = 3 число 3 — это
разность. Это слово подходит и ко второму смыслу: разность — это разрыв между
двумя числами, насколько далеко они стоят друг от друга. Как ни описывай, ответ
вычитания — это разность.
Вычитание — это сложение наоборот. Сложение прыгает вправо по числовой прямой;
вычитание прыгает влево. Чтобы найти 7 − 3, встань на 7 и отсчитай назад три шага:
6, 5, 4. Ты попадаешь на 4. И поскольку это сложение наоборот, любое вычитание можно
проверить сложением: 4 + 3 = 7, значит 7 − 3 = 4 верно.
Вычитание отвечает на два житейских вопроса. Первый — убрать: «у меня было 7, я
потерял 3, сколько осталось?» Второй — разность: «у Сары 7 конфет, у Тома 3 —
насколько больше у Сары?» Оба — это 7 − 3 = 4. Одно и то же действие отвечает и на
«сколько осталось», и на «насколько далеко друг от друга» — полезно замечать, какой
вопрос ты на самом деле задаёшь.
Большие числа вычитают по одному разряду за раз — а когда разряда не хватает, занимают. Выстрой числа по разрядам и вычитай единицы из единиц, десятки из десятков. Если верхняя цифра в разряде меньше нижней, убрать достаточно не выйдет. Тогда ты занимаешь: берёшь одну единицу из разряда выше и перегруппировываешь её в десять единиц текущего разряда. Заём — это перенос наоборот: один десяток разменивается обратно в десять единиц.
Вычти 42 − 17.
Выстрой по разрядам: 42 — это 4 десятка и 2 единицы; 17 — 1 десяток и 7 единиц.
Начни с единиц: нужно 2 − 7, но 2 меньше 7 — не хватает. Занимай: возьми 1 десяток
из 4 десятков, останется 3 десятка, и перегруппируй его в 10 единиц. В разряде единиц
теперь 2 + 10 = 12. Теперь 12 − 7 = 5. Запиши 5 в разряд единиц.
Теперь десятки: после заёма наверху 3 десятка, внизу 1 десяток. 3 − 1 = 2. Запиши
2 в разряд десятков.
Разность — 25. Проверь сложением: 25 + 17 = 42. Верно.
Почему это работает
Почему заём работает? Потому что один десяток и десять единиц — одно и то же
количество, ровно правило разрядов. Заём не меняет верхнее число; он лишь переписывает
его так, чтобы разряд, которому не хватило, мог взять из разряда выше. 42 остаётся
42, читаешь ли ты его как «4 десятка 2 единицы» или «3 десятка 12 единиц».
Частая ошибка
Самая частая ошибка — вычитать меньшую цифру из большей, не глядя, какая сверху. В
42 − 17 разряд единиц — это 2 − 7, а не 7 − 2. В вычитании порядок важен: нужно
убрать нижнюю цифру из верхней, и если верхняя слишком мала — занимай. Никогда не
переворачивай столбик молча.
Вычти, отсчитывая назад: 8 − 3. Напиши разность.
У Сары 9 наклеек, у Тома 9. Насколько больше у Сары? Напиши разность.
Вычти: 15 − 7. Напиши разность.
Вычти: 53 − 28. Напиши разность.
Вычти: 60 − 24. Напиши разность.
В 42 − 17 разряд единиц спрашивает 2 − 7. Двойка слишком мала. Что ты делаешь?
Вычитание убирает одно количество из другого, а его результат — разность, которая также есть разрыв между двумя числами. Это сложение наоборот: отсчитывай назад по числовой прямой, а проверяй любое вычитание сложением. Оно отвечает и на «сколько осталось», и на «насколько далеко друг от друга». Большие числа вычитай по одному разряду за раз; когда разряда сверху не хватает, занимай одну единицу из следующего разряда и перегруппируй её в десять.