Математика с нуля
Линейный против экспоненциального
Два плана накоплений. Один добавляет 10 монет в банку каждый день. Другой удваивает то, что в банке, каждый день. Запусти оба одновременно. Какое-то время первый выглядит лучше — но дай ему десять дней, и второй не просто впереди, его уже не видно.
После этого урока ты можешь отличить линейный рост от экспоненциального, вычислить несколько шагов каждого и объяснить, почему экспоненциальный рост всегда обгоняет линейный в конце.
Линейный рост прибавляет одну и ту же величину каждый шаг. Это ровный подъём из раздела о функциях: на каждый шаг входа итог поднимается на фиксированную величину. Добавляй 10 в день — и банка держит 10, 20, 30, 40 — постоянный шаг 10. Рост никогда не ускоряется.
Экспоненциальный рост умножает на одну и ту же величину каждый шаг. Вместо прибавления фиксированной величины экспоненциальный рост умножает на фиксированную величину. Удваивай каждый день, начав с 1, — и банка держит 1, 2, 4, 8, 16. Сам шаг всё растёт, ведь каждый шаг действует на число больше прошлого.
Экспоненциальный рост начинается медленно, потом обгоняет любой линейный. Поначалу добавлять 10 в день побеждает удвоение от 1 — на день 2 у линейной банки 20, у банки с удвоением только 4. Но удвоение накапливается: к дню 7 оно перевалило за 100, и с того момента линейный рост уже не догонит. Умножение всегда выигрывает долгую гонку у сложения.
Этот контраст формирует реальный мир. Деньги, оставленные зарабатывать проценты, популяция животных, слух, расходящийся от человека к человеку — всё растёт умножением, а не сложением, значит всё растёт экспоненциально. Распознать, добавляет что-то или умножает, говорит тебе заранее, поползёт оно или взорвётся.
**План A добавляет 5 каждый день, начиная с 0. План B удваивает каждый день, начиная с
- Сравни их день за днём до дня 7.**
План A (линейный, добавь 5): день 1 — 5, день 2 — 10, потом 15, 20, 25, 30, день 7 — 35.
План B (экспоненциальный, удвоение): день 1 — 2, день 2 — 4, потом 8, 16, 32, 64, день 7 — 128.
Первые три дня план A впереди — на день 3 у A 15, а у B только 8. Но B перехватывает: к дню 4 они близки, а к дню 7 128 у B затмевают 35 у A. Чем дольше ждёшь, тем шире разрыв.
Почему это работает
Почему экспоненциальный рост всегда обгоняет линейный, каким бы большим ни был линейный шаг? Потому что линейный шаг закреплён навсегда, а экспоненциальный шаг растёт вместе с итогом. Даже крошечный множитель — вроде 1.01 — в конце концов даёт шаги больше любого фиксированного числа, ведь то, что умножают, всё растёт. Фиксированное побеждает растущее лишь какое-то время; растущее выигрывает в конце.
Частая ошибка
Частая ошибка — судить о росте по его первым дням. На первых нескольких шагах линейный рост часто выглядит быстрее, и люди заключают, что это больший план. Это не так — он просто впереди пока что. Чтобы сравнивать виды роста, смотри на долгую дистанцию, а не на первые шаги, ведь именно там умножение уходит в отрыв.
Линейный рост: начни с 0, добавляй 10 каждый день. Каков итог через 3 дня? Напиши его.
Экспоненциальный рост: начни с 1, удваивай каждый день. Каков итог через 3 дня? Напиши его.
Линейный рост: начни с 0, добавляй 4 каждый день. Каков итог через 5 дней? Напиши его.
Экспоненциальный рост: начни с 1, умножай на 3 каждый шаг. Каков итог через 2 шага? Напиши его.
На долгой дистанции что растёт быстрее? Напиши 1 для экспоненциального, 0 для линейного.
В чём разница между линейным и экспоненциальным ростом?
Линейный рост прибавляет одну и ту же фиксированную величину каждый шаг; экспоненциальный рост умножает на одну и ту же фиксированную величину каждый шаг. Экспоненциальный рост часто начинается медленнее, но поскольку его шаг растёт вместе с итогом, он всегда обгоняет линейный на долгой дистанции. Деньги, популяции и расходящиеся слухи растут умножением — поэтому, чтобы предсказать, поползёт что-то или взорвётся, спроси, добавляет оно или умножает.