Эквивалентность и порядок: классы, разбиения и что можно сравнивать

Отношение эквивалентности обладает всеми тремя свойствами: рефлексивностью, симметричностью, транзитивностью. Вместе они формализуют «считается одинаковым для моих целей»: всё одинаково с собой; если a одинаково с b, то b одинаково с a; если a ~ b и b ~ c, то a ~ c. Канонический пример — одинаковый остаток от деления на 3 на целых числах: 7 и 4 оба дают остаток 1, значит, эквивалентны. Другие будничные эквивалентности: одинаковая длина строки, «анаграмма» («listen» ~ «silent»), один email после приведения к нижнему регистру и обрезки пробелов.

Каждое отношение эквивалентности разбивает множество на непересекающиеся классы эквивалентности. Каждый элемент попадает ровно в один класс, а два элемента связаны в точности тогда, когда делят класс. Остаток mod 3 режет целые на три класса: {0, 3, 6, 9, …}, {1, 4, 7, 10, …}, {2, 5, 8, 11, …}. Ни одно число не лежит в двух классах, ни одно не осталось снаружи — это гарантируют три свойства. Симметричность с транзитивностью заставляют классы заглатывать группы целиком; рефлексивность следит, чтобы никто не сбежал.

// "Один и тот же человек" на email = одинаковое значение после нормализации.
const canon = (e) => e.trim().toLowerCase();

const emails = ["Ana@Example.com ", "ana@example.com", "BOB@x.dev"];
const classes = new Map();
for (const e of emails) {
  const rep = canon(e);
  (classes.get(rep) ?? classes.set(rep, []).get(rep)).push(e);
}
classes.size;           // 2 — двое людей, три написания
[...classes.keys()];   // ["ana@example.com", "bob@x.dev"]

Частичный порядок — рефлексивный, транзитивный и антисимметричный: взаимная связь влечёт равенство, поэтому стрелки ранжируют, а не группируют. Числа под ≤ — привычный случай. Слово частичный — сюрприз: полный (линейный) порядок сравнивает каждую пару (возьмите любые два числа — одно ≤ другого), а частичный порядок законно оставляет некоторые пары несравнимыми. Под ⊆: {1, 2} и {2, 3} — не равны, и ни одно не содержит другое. Они несравнимы, и ничего не сломано. Порядок просто частичен.

Сортировка не тем полным порядком — это и есть баг версий. Лексикографический порядок и порядок semver — оба полные порядки на строках версий, но они расходятся: как строки «1.10.0» < «1.2.3», потому что посимвольно «1» < «2»; semver же сравнивает компоненты численно. Скрипт деплоя отсортировал не тем полным порядком и откатил продакшен. Сортировка всегда присягает какому-то отношению — класс багов: присяга не тому.

const tags = ["1.9.0", "1.10.0", "1.2.3"];
tags.sort();   // → ["1.10.0", "1.2.3", "1.9.0"]  ← неверно

const byVersion = (a, b) => {
  const pa = a.split(".").map(Number);
  const pb = b.split(".").map(Number);
  return (pa[0] - pb[0]) || (pa[1] - pb[1]) || (pa[2] - pb[2]);
};
tags.sort(byVersion);   // → ["1.2.3", "1.9.0", "1.10.0"]  ← верно